「3人が1位・2位・3位になる」と「3人が決勝に進む」は別の問いです。どちらも同じ集団から同じ人数を選びますが、一方は並べ方を数え、もう一方は顔ぶれを数えます。そして前者の答えは常に大きく、その差はちょうど、選ばれた者どうしを入れ替える方法の数です。このページは両方を同時に示します。どちらを使うかという選択が、前提ではなく目に見えるようにするためです。

3ステップの使い方

1. 1 n を入力します。選ぶ対象が全部で何個あるか。
2. 2 r を入力します。そのうち何個を取るか。
3. 3 自分の問いに合う行を読みます。順序を区別するか、しないか。

どちらの式かを決めるただひとつの問い

選んだもののうち2つを入れ替えたら、結果は別物になるか。そう問うてください。金と銀を入れ替えれば別の結果ですから、表彰台の順位は順列です。宝くじの数字を2つ入れ替えても同じ券ですから、抽選は組み合わせです。あとはすべてこの一つの判定から導かれます。ここを間違えるのが、この分野で最もよくある誤りで、たいていは同じ組を何度も数えてしまう方向に転びます。

この数がすぐ膨れ上がる理由

順列は、ふつうの算術に出てくるほとんど何よりも速く増えます。10個の並べ方は3,628,800通り、15個なら1兆を超えます。この増え方こそ、ダイヤル4桁の南京錠が安全に感じられる理由であり、トランプを切れば誰も見たことのない並びが確実に生まれる理由です。同時に、画面上で正確な答えを出すことがすぐに不可能になる理由でもあります。ツールは保証できない桁を並べるのではなく、そのことを告げます。